控制系统的基本要求

稳、快、准

稳定性：稳定性是控制系统的基本要求之一，指的是在受到扰动或输入变化时，系统能够回归平衡状态。
快速性：指系统从输入变化到输出稳定所需的时间，通常通过响应速度和过渡时间来衡量。
精确性: 系统的输出应尽可能接近参考输入值，误差越小越好。

评价指标

稳态：系统没有受到任何外来扰动，同时设定值保持不变，因而被控变量也不会随时间变化，整个系统处于稳定平衡的工况。
动态：系统受到外来扰动的影响或者在改变了设定值后，原来的稳态遭到破坏，系统中各组成部分的输入输出量都相应发生变化，尤其是被控变量也将偏离稳态而随时间变化。
稳态反映“最终结果”，动态体现“达到结果的过程”。

稳态性能指标
1. 稳态误差：系统在达到稳定状态后的残余误差。稳态误差越小，系统越精确，但并不直接影响系统稳定性。
2. 余差：余差是稳态误差的一部分，稳态误差可以分为两部分：余差和其他误差（如建模误差或者外界干扰引起的误差）
动态性能指标
1. 超调量（Overshoot）:输出响应超过目标值的最大偏差，通常以目标值的百分比表示。超调量应尽量小，但也不能为零（可能导致响应过慢）。
2. 上升时间（Rise Time）：输出从 0 达到目标值 90% 所需的时间。
3. 调节时间（Settling Time）：输出进入并保持在目标值某个范围内（如±2%）所需的时间。调节时间越短，系统越快达到稳定状态。
4. 峰值时间（Peak Time）：输出首次达到峰值的时间。
5. 自然振荡频率（Natural Frequency）：系统在无阻尼情况下振荡的频率。
6. 阻尼比（衰减比）（Damping Ratio）：衡量系统阻尼程度的参数，通常介于 0 和 1 之间。阻尼比越大，系统越不容易超调和振荡，但响应速度可能较慢。

控制系统的数学模型

自动控制系统的数学模型是描述系统动态行为的一种数学表达方式，通常用来分析、设计和优化控制系统。常见的数学模型形式包括微分方程、状态空间模型、传递函数和离散时间模型。

微分方程（时域）

通过微分方程描述系统输入与输出之间的关系。
一般形式： $a_n \frac{d^n y(t)}{dt^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1} y(t)}{dt^{n-1}} + \cdots + a_0 y(t) = b_m \frac{d^m u(t)}{dt^m} + b_{m-1} \frac{d^{m-1} u(t)}{dt^{m-1}} + \cdots + b_0 u(t)$
$y(t)$是输出，$u(t)$ 是输入，$a_i, b_i$ 是系数。

传递函数（复数域）

通过拉普拉斯变换将微分方程转换为代数方程，得到输入输出关系的传递函数：
一般形式： $G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{b_m s^m + b_{m-1} s^{m-1} + \cdots + b_0}{a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_0}$
$Y(s)$是输出，$U(s)$ 是输入，$b_i, a_i$ 是系数。

状态空间模型

通过状态变量描述系统的动态行为，一般形式： $\begin{cases} \dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t) \\ y(t) = Cx(t) + Du(t) \end{cases}$
$x(t)$是状态向量，$u(t)$是输入，$y(t)$是输出，$A, B, C, D$是系数矩阵。

离散时间模型

通过差分方程描述系统输入与输出之间的关系，一般形式： $y[n] = b_0 u[n] + b_1 u[n-1] + \cdots + b_m u[n-m] + a_1 y[n-1] + \cdots + a_n y[n-n]$
$y[n]$是输出，$u[n]$是输入，$b_i, a_i$ 是系数。

非线性模型

非线性模型描述系统输入与输出之间的非线性关系，一般形式： $y(t) = f(u(t), y(t), t)$
$y(t)$是输出，$u(t)$是输入，$f$是非线性函数。

闭环控制系统

开环系统：没有反馈的控制系统，控制信号不依赖于输出。
闭环系统：控制信号依赖于输出，通过反馈来调整控制输入，使系统的输出符合预定目标。
两者之间的区别：有没有引入反馈

闭环控制系统的组成

输入
输出
控制器：根据期望值（输入信号）和实际输出之间的误差生成控制信号，调节系统的行为。
执行器：接收控制器输出的控制信号，作用于被控对象，从而改变其状态。
被控对象：系统中需要被控制的部分，通常是动态系统，比如机械设备、电机、温度场等。
反馈：将被控对象的输出信号反馈到控制器，以形成闭环控制系统。
传感器：实时测量被控对象的状态（如位置、速度、温度等），将实际输出转换为电信号或其他适合控制器处理的形式。
比较器：：比较参考输入信号（目标值）与反馈信号（实际输出），生成误差信号。误差是控制器的输入，用于进一步计算控制信号。
干扰信号（外部扰动）：外界环境或系统内部不可控的随机因素，会影响系统性能。

闭环控制系统的传递函数

在控制理论中，闭环控制系统的传递函数是描述系统输入和输出之间关系的数学表达式，通常用来分析系统的动态性能和稳定性。

闭环控制系统的传递函数定义

闭环系统的传递函数定义为：

[
T(s) = \frac{C(s)}{R(s)} = \frac{G(s)}{1 + G(s)H(s)}
]

其中：

( T(s) )：闭环传递函数，表示系统从输入到输出的整体行为。
( G(s) )：开环传递函数，描述控制器和被控对象的联合作用。
( H(s) )：反馈路径的传递函数，描述反馈信号的特性。
( R(s) )：输入信号（参考值）。
( C(s) )：输出信号。

推导过程

输入信号为 ( R(s) )，输出信号为 ( C(s) )，反馈信号为 ( B(s) = H(s)C(s) )。
偏差信号为：
[
E(s) = R(s) - B(s) = R(s) - H(s)C(s)
]
控制器和被控对象的总作用为：
[
C(s) = G(s)E(s)
]
将 ( E(s) ) 代入：
[
C(s) = G(s) \big[R(s) - H(s)C(s)\big]
]
整理得：
[
C(s) \big[1 + G(s)H(s)\big] = G(s)R(s)
]
闭环传递函数：
[
T(s) = \frac{C(s)}{R(s)} = \frac{G(s)}{1 + G(s)H(s)}
]

系统性能分析

稳定性分析
稳定性取决于 ( 1 + G(s)H(s) = 0 ) 的解，即系统的特征根（闭环极点）。如果所有特征根都在复平面的左半部分，系统是稳定的。
误差分析
稳态误差由反馈影响，通过引入 ( H(s) ) 可以有效减少误差。
频率特性分析
( T(s) ) 可用于分析系统的幅频特性和相频特性，如带宽、增益裕度、相位裕度等。

特别情况

如果 ( H(s) = 1 )（单位负反馈）：
[
T(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)}
]
如果 ( G(s)H(s) \gg 1 )（高增益近似）：
[
T(s) \approx \frac{1}{H(s)}
]
表明系统输出几乎只与反馈函数 ( H(s) ) 有关。

系统分析

线性系统的时域分析法

线性系统的时域分析是一种基于时间响应特性来研究系统行为的方法。通过观察系统对特定输入（如阶跃、脉冲或正弦信号）的响应，可以评估其动态性能（如稳定性、快速性和精确性）。

常见的输入信号

时域分析通常用以下标准测试信号：

单位阶跃信号 ( u(t) )
( u(t) = \begin{cases}
1, & t \geq 0 \
0, & t < 0
\end{cases} )
用于模拟系统从零状态开始接受恒定输入的过程。
单位脉冲信号 ( \delta(t) )
( \delta(t) = \begin{cases}
\infty, & t = 0 \
0, & t \neq 0 \
\text{s.t. } \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) \, dt = 1
\end{cases} )
用于测试系统的瞬时响应特性。
单位斜坡信号 ( r(t) )
( r(t) = \begin{cases}
t, & t \geq 0 \
0, & t < 0
\end{cases} )
用于测试系统对线性增长输入的响应。

一阶系统时域分析

假设一阶系统的传递函数为：
[
G(s) = \frac{K}{\tau s + 1}
]
其中：

( K )：增益，决定系统输出的幅值。
( \tau )：时间常数，反映系统响应的快慢。

对于单位阶跃输入 ( u(t) )，系统的响应为：
[
c(t) = K \big(1 - e^{-t/\tau}\big)
]

特性：

稳态值：( K )
输出最终趋近的值。
上升时间：约为 ( 2.2\tau )，表示输出从10%到90%稳态值所需的时间。
时间常数：( \tau )，表示响应达到稳态值63%时所需时间。
调整时间：约为 ( 4\tau )，表示输出接近稳态值的95%或98%时所需时间。

二阶系统时域分析

二阶系统的传递函数为：
[
G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}
]
其中：

( \omega_n )：自然频率，决定系统振荡的快慢。
( \zeta )：阻尼比，决定系统振荡的衰减程度。

对于单位阶跃输入 ( u(t) )，系统的响应分为以下三种情况：

欠阻尼（( 0 < \zeta < 1 )）
响应为振荡衰减：
[
c(t) = 1 - e^{-\zeta\omega_n t} \Big[\cos(\omega_d t) + \frac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}} \sin(\omega_d t)\Big]
]
其中 ( \omega_d = \omega_n \sqrt{1 - \zeta^2} )。

特性：
- 峰值时间：( t_p = \frac{\pi}{\omega_d} )
  输出达到第一个峰值的时间。
- 调节时间：约为 ( 4 / (\zeta \omega_n) )。
- 超调量：( M_p = e^{-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}} )。
临界阻尼（( \zeta = 1 )）
响应为无振荡的指数衰减：
[
c(t) = 1 - (1 + \omega_n t)e^{-\omega_n t}
]

特性：
- 调节时间较短，无超调。
过阻尼（( \zeta > 1 )）
响应为缓慢的指数衰减：
[
c(t) = 1 - C_1 e^{s_1 t} - C_2 e^{s_2 t}
]
其中 ( s_1, s_2 ) 是特征根，( C_1, C_2 ) 是常数。

特性：
- 响应无振荡，但调节时间较长。

系统性能指标

以下指标常用于评估时域响应的优劣：

上升时间 ( t_r )
输出从10%到90%稳态值所需时间。
峰值时间 ( t_p )
响应达到最大值所需时间。
最大超调量 ( M_p )
响应最大值超过稳态值的百分比。
调整时间 ( t_s )
输出进入并保持在稳态值一定范围（如±2%）所需时间。
稳态误差 ( e_{ss} )
响应最终与参考输入的偏差。

线性系统的根轨迹法

根轨迹法是一种经典的控制系统分析和设计方法，用于研究系统的闭环极点随系统参数（如增益 ( K )）变化时的轨迹分布。它广泛用于确定闭环系统的稳定性和动态性能。

基本原理

根轨迹法基于控制系统的特征方程：
[
1 + G(s)H(s) = 0
]
其中 ( G(s)H(s) ) 是系统的开环传递函数。通过调整参数（通常是增益 ( K )），观察闭环极点 ( s ) 的分布变化，判断系统性能。

闭环极点的轨迹满足方程：
[
1 + K \cdot G(s)H(s) = 0 \quad \text{或} \quad K \cdot G(s)H(s) = -1
]
因此，轨迹满足 ( G(s)H(s) ) 的相角条件和幅值条件：

相角条件：
[
\angle G(s)H(s) = (2k + 1)\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
]
幅值条件：
[
|K \cdot G(s)H(s)| = 1
]

绘制根轨迹的步骤

确定特征方程
写出 ( 1 + K G(s)H(s) = 0 ) 的显式表达式，提取 ( G(s)H(s) )。
标定开环极点和开环零点
在复平面上标出 ( G(s)H(s) ) 的所有极点和零点。
确定根轨迹起点和终点
- 根轨迹的起点是开环极点位置。
- 根轨迹的终点是开环零点，若零点不足则延伸到无穷远。
根轨迹的方向
根轨迹总是从开环极点向开环零点延伸。
对称性
根轨迹关于实轴对称。
实轴上的根轨迹
实轴上的根轨迹存在于开环极点和零点之间，且该区域左侧没有其他开环极点或零点。
渐近线（当增益 ( K \to \infty )）
- 渐近线的角度为：
  [
  \theta = \frac{(2k+1)\pi}{P - Z}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots
  ]
  其中 ( P ) 是开环极点的总数，( Z ) 是开环零点的总数。
- 渐近线的交点（中心）：
  [
  \sigma = \frac{\sum \text{(开环极点)} - \sum \text{(开环零点)}}{P - Z}
  ]
分离点与汇合点
- 轨迹分离点和汇合点（实轴交叉点）由求导数方程得到：
  [
  \frac{d}{ds}[1 + K G(s)H(s)] = 0
  ]
计算特定增益 ( K ) 对应的闭环极点
对已知增益 ( K )，求解闭环特征方程确定极点。

应用

闭环系统稳定性分析
通过观察根轨迹是否进入右半平面，可以判断系统是否失稳。
系统动态性能设计

调节 ( K ) 以使闭环极点位于目标区域（如某阻尼比或自然频率）。
确定最佳 ( K ) 平衡快速性与稳定性。

系统补偿设计
通过添加零点或极点（如前馈或反馈补偿器），改变根轨迹的形状，使系统满足设计要求。

自动控制理论（经典控制）